Numri pi

Numri pi, i cili zakonisht shënohet me gërmën e vogël të alfabetit grek π (lexo pi apo pi-greke), është një konstantë matematikore nga më të rëndësishmet. Numri π mund të përkufizohet si herës (raport) i perimetrit të një rrethi me diametrin e tij. Vlera e tij e përafërt është 3.14159.... Kjo do të thotë se kur diametri i rrethit është Një njësi, atëherë perimetri i tij është vetë π. Numri π është një numër iracional që do të thotë se ai nuk mund të shkruhet si thyesë apo si herës i dy numrave të plotë. Kjo do të thotë se decimalet e tij kurrë nuk përfundojnë por edhe nuk përsëriten. Ky numër njihet edhe si konstanta e Arkimedit (jo numri i Arkimedit) .

Arkimedi

Kur diametri i rrethit është 1 njësi, atëherë perimetri i tij është π

Simboli i pi-greke

Simboli π u vendos në vitin 1706 nga matematikani anglez William Jones (lexo : Uilliam Xhons) si gërma e parë fjalës greke περίμετρος (perimetros), domethënë përmasa përqark ose përreth. Gjatë historisë së matematikës janë bërë përpjekje të shumta për ta kuptuar më mirë natyrën e këtij numri. Përdorimi i tij njihet që nga antikiteti dhe nuk e ka humbur asnjëherë rëndësinë e tij. Përkundrazi, shumë formula nga matematika, (analiza matematike, trigonometria, stereometria, etj) apo fizika dhe inxhinieria përmbajnë numrin π. Koncepti i tij është sa i thjeshtë, aq edhe interesant.

"Të eksplorosh π, është njësoj si të eksplorosh Universin" (David Chudnovsky).

Ludolph van Ceulen

Shpesh ky numër quhet edhe numër i Ludolfit, për nder të matematikanit gjerman Ludolph van Ceulen i cili rreth vitit 1600 e njehsoi vlerën e tij me 32 shifra decimale :

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50

Ishte aq i lumtur dhe krenar për llogaritjet dhe përfundimin e tij, sa që më vonë këtë numër ia gdhendën mbi pllakën e varrit.

Më vonë, më 1789, rekordin e llogaritjeve e arriti slloveni Jurij Vega me 140 shifra decimale nga të cilat 137 ishin të sakta dhe e mbajti për 52 vjet deri më 1841 kur William Rutherford (Uiliam Rathërford) llogariti 208 shifra. Sot numri shifrave decimale, sipas llogaritjeve të një superkompjuteri "Hitachi", është 1.241.100.000.000. Sidoqoftë vlera e tij 3.14 mbetet ajo e domosdoshme për llogaritje.

Me numrin π janë mrekulluar edhe jomatematikanët.

Formula që lidhen me π

${\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots ={\frac {2}{\pi }}$
(Viète 1592)

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$
(Wallis 1655)

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$
(Euler 1735)

${\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1103+26390n)\cdot (4n)!}{396^{4n}\cdot (n!)^{4}}}={\frac {1}{\pi }}$
(Ramanujan 1914)

$\prod _{j=1}^{4}\prod _{k=1}^{4}\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{9}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{9}}\right)$
(Temperley, Fisher, and Kasteleyn 1961)

Gjeometria

Numrat kompleksë dhe identiteti i Eulerit

Çdo numër kompleks, i shënuar me z, mund të shprehet me anë të një çifti numrash realë. Në sistemin e koordinatave polare, një numër (r) përdoret për të dhënë largësinë e e numrit z nga origjina dhe një tjetër φ përcakton këndin sipas drejtimit kundërorar. Kjo shprehet në formën:

$z=r*(\cos \phi +i\sin \phi )$

Ku simboli $i$ ja njësia imagjinare që përmbush relacionin $i^{2}=-1$. Shfaqja e herëpas'herëshme e $\pi$ në analizën komplekse mund të lidhet me vetitë e funksionit eksponencial të ndryshores komplekse, që përshkruhen nga formula e Eulerit:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$