Transformimi i Laplasit i zbatuar në ekuacione diferenciale

Në matematikë, transformimi i Laplasit është një transformim i fuqishëm integral i përdorur për të kaluar një funksion nga rrafshi i kohës në rrafshin s . Transformimi i Laplasit mund të përdoret në disa raste për të zgjidhur ekuacionet diferenciale lineare me kushte fillestare të dhëna.

Së pari merrni parasysh vetinë e mëposhtme të transformimit të Laplasit:

${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)$

${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)$

Mund të vërtetohet me induksion se

${\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)$

Tani marrim parasysh ED të mëposhtëm:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t)$

me kushte fillestare të dhëna

$f^{(i)}(0)=c_{i}$

Duke përdorur linearitetin e transformimit të Laplasit është e njëvlershme të rishkruhet ekuacioni si

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}$

duke marrë

${\mathcal {L}}\{f(t)\}\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}$

Zgjidhja e ekuacionit për ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ dhe duke zëvendësuar $f^{(i)}(0)$ me $c_{i}$ jep

${\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}c_{j-1}}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}}$

Zgjidhja për $f(t)$ fitohet duke zbatuar transformimin e anasjelltë të Laplasit në ${\mathcal {L}}\{f(t)\}.$

Vini re se nëse kushtet fillestare janë të gjitha zero, dmth

$f^{(i)}(0)=c_{i}=0\quad \forall i\in \{0,1,2,...\ n\}$

atëherë formula thjeshtohet duke dhënë

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{{\mathcal {L}}\{\phi (t)\} \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}\right\}$

Nje shembull

Ne duam të zgjidhim

$f''(t)+4f(t)=\sin(2t)$

me kushte fillestare $f(0)=0$ dhe $f'(0)=0$.

Vëmë re se

$\phi (t)=\sin(2t)$

dhe marrim

${\mathcal {L}}\{\phi (t)\}={\frac {2}{s^{2}+4}}$

Ekuacioni është atëherë i njëvlershëm me

$s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}$

Ne dalim në përfundimin se

${\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {2}{(s^{2}+4)^{2}}}$

Tani ne aplikojmë transformimin e anasjelltë të Laplasit për të marrë

$f(t)={\frac {1}{8}}\sin(2t)-{\frac {t}{4}}\cos(2t)$